数学をもう一度・・・

\( a<0 \)のとき、グラフは下図のようになる。このような放物線を上に凸の放物線とよび、増加から減少に転ずる点を頂点という。

上に凸の放物線

 
この放物線も\(a>0\)のときと同様、\( y \)軸に関して対称で、その対称軸を放物線の軸と呼ぶ。下図の場合、放物線の軸の方程式は、\(x=0\)となる。

上に凸の放物線と軸

\( a>0 \)のとき、グラフは下図のようになる。このような放物線を下に凸の放物線とよび、減少から増加に転ずる点を頂点という。

下に凸の放物線

放物線の軸

グラフを描いて，どのようなことに気づきましたか？

• ■グラフは軸について左右対称（対称の軸を放物線の軸という）

• ■ \( a > 0 \)のとき
  • □グラフは上に開いている
  • □\( a \)の値が大きくなると，開き方が狭くなる．
  • □\( y \)の値は\( x > 0 \)において減少
  • □\( y \)の値は\( x \geqq 0 \)において減少
  • ■ \( a < 0 \)のとき
    • □グラフは下に開いている
    • □\( a \)の値が小さくなると，開き方が狭くなる．
    • □\( y \)の値は\( x >0 \)において増加
    • □\( y \)の値は\( x \geqq 0 \)において減少
    • ■ \( a = 0 \)のとき、グラフが軸と重なる

下のグラフの a の値を変化させてみましょう。 a の値によってグラフの形状はどのように変化するか観察してみよう。

点Qは自由に動き回ることができるか？点Qの動きは、点Pの動きに拘束される。\( X Y \)-座標平面上での点Qの動きと\( x y \)-座標平面上での点Pの動きの関連性を見つけて、式を使ってどのように表されるか考えてみよう。