数学をもう一度・・・

\( s < t \)として、定義域が \( s \leqq x \leqq t \)における２次関数 \(y=ax^2\) の最大値と最小値を以下の表にまとめる。定義域に頂点を含む場合、下図における（真ん中の3つの表の）定義域を表す黄色い線分の中点に注目すればよい。

\( t \leqq 0 \)のとき（\(x\)の取り得る値が負の場合）
\(a\)の値	\( a>0 \)	\( a<0 \)
最大値	\(s^2\)　(\(x=s\))	\(t^2\)　(\(x=t\))
最小値	\(t^2\)　(\(x=t\))	\(s^2\)　(\(x=s\))
グラフ	下に凸の放物線の最大値と最小値(\(x\)の取り得る値が負の場合)	上に凸の放物線の最大値と最小値(\(x\)の取り得る値が負の場合)
\(\frac{t+s}{2}<0\)のとき　（\(x\)の取り得る値範囲に頂点を含む場合)
\(a\)の値	\( a>0 \)	\( a<0 \)
最大値	\(s^2\)　(\(x=s\))	\(0\)　(\(x=0\))
最小値	\(0\)　(\(x=0\))	\(s^2\)　(\(x=s\))
グラフ	下に凸の放物線の最大値と最小値(\(x\)の取り得る値範囲に頂点を含む場合)	上に凸の放物線の最大値と最小値(\(x\)の取り得る値範囲に頂点を含む場合)
\(\frac{t+s}{2}=0\)のとき　（\(x\)の取り得る値範囲に頂点を含みグラフが対称となる場合）
\(a\)の値	\( a>0 \)	\( a<0 \)
最大値	\(s^2\)　(\(x=s\)または\(x=t\))	\(0\)　(\(x=0\))
最小値	\(0\)　(\(x=0\))	\(s^2\)　(\(x=s\)または\(x=t\))
グラフ	下に凸の放物線の最大値と最小値(\(x\)の取り得る値範囲に頂点を含む場合；特に頂点の\(x\)座標と定義域の中点が一致する場合)	下に凸の放物線の最大値と最小値(\(x\)の取り得る値範囲に頂点を含む場合；特に頂点の\(x\)座標と定義域の中点が一致する場合)
\(\frac{t+s}{2}>0\)のとき　（\(x\)の取り得る値範囲に頂点を含む場合)
\(a\)の値	\( a>0 \)	\( a<0 \)
最大値	\(t^2\)　(\(x=t\))	\(0\)　(\(x=0\))
最小値	\(0\)　(\(x=0\))	\(s^2\)　(\(x=s\))
グラフ	下に凸の放物線の最大値と最小値(\(x\)の取り得る値範囲に頂点を含む場合)	下に凸の放物線の最大値と最小値(\(x\)の取り得る値範囲に頂点を含む場合)
\( s \geqq 0 \)のとき（\(x\)の取り得る値が正の場合）
\(a\)の値	\( a>0 \)	\( a<0 \)
最大値	\(t^2\)　(\(x=t\))	\(s^2\)　(\(x=s\))
最小値	\(s^2\)　(\(x=s\))	\(t^2\)　(\(x=t\))
グラフ	下に凸の放物線の最大値と最小値(xの取り得る値が正の場合)	上に凸の放物線の最大値と最小値(xの取り得る値が正の場合)

２次関数の基本形\( y=ax^2 ( a<0, x \in \mathbb{R})\)における\(y\)の最大値と最小値

は、

最小値：なし、　最大値：\(y=0\) 　\( (x=0 ) \)

なぜなら、下図のように、\( x \)が、実数全体(\(x \in \mathbb{R}\))の値を取る場合、増加から減少に転ずる点が、頂点\( ( 0, 0 ) \)となるからである。よって、頂点のx座標、y座標から、\(x=0\)のとき最大値\( y= 0 \)をとる。

上に凸の放物線

一方、最小値はグラフが無限に下方に伸びている。
\( x、\( y \)の値は、\( x \)が小さくなればなるほど、\( y \)も限りなく小さくなる。そのため、\( x最小値は存在しない。
同様に\( x>0 \)において、\( y \)の値は、\( x \)が大きくなればなるほど、\( y \)も限りなく小さくなる。そのため、\( x>0 \)において\( y \)の最小値は存在しない。

２次関数の基本形\( y=ax^2 ( a>0, x \in \mathbb{R})\)における\(y\)の最大値と最小値

は、

最小値：\(y=0\) 　\( (x=0 ) \)、　最大値：なし

である。
なぜなら、下図のように、\( x \)が、実数全体(\(x \in \mathbb{R}\))の値を取る場合、減少から増加に転ずる点が、頂点\( ( 0, 0 ) \)となるからである。よって、頂点の\(x\)座標、\(y\)座標から、\( x=0 \) のとき最小値\( y= 0 \)をとる。

下に凸の放物線

一方、最大値はグラフが無限に上方に伸びている。
換言すると、\( x \)、\( y \)の値は、\( x \)が小さくなればなるほど、\( y \)も限りなく大きくなる。そのため、\( x \)最大値は存在しない。
同様に\( x>0 \)において、\( y \)の値は、\( x \)が大きくなればなるほど、\( y \)も限りなく大きくなる。そのため、\( x>0 \)において\( y \)の最大値は存在しない。

２次関数の基本形\( y=ax^2 ( \)\(a<0\), \(x \in \mathbb{R})\)の\(y\)の最大値と最小値ついて考えてみよう。

\( x \)が、実数全体(\(x \in \mathbb{R}\))の値を取る場合、増加から減少に転ずる点、頂点\( ( 0, 0 ) \)において、最大値\( y= 0 \)をとる。

上に凸の放物線

一方、\( x、\( y \)の値は、\( x \)が小さくなればなるほど、\( y \)も限りなく小さくなる。そのため、\( x最小値は存在しない。
同様に\( x>0 \)において、\( y \)の値は、\( x \)が大きくなればなるほど、\( y \)も限りなく小さくなる。そのため、\( x>0 \)において\( y \)の最小値は存在しない。

つまり、

２次関数の基本形\( y=ax^2 ( a<0, x \in \mathbb{R})\)における\(y\)の最大値と最小値

は、

頂点\( ( 0, 0 ) \)において、最大値\( y= 0 \)をとり、最小値は存在しない。

最小値：なし、　最大値：\(y=0\) 　\( (x=0 ) \)

２次関数の基本形\( y=ax^2 (\) \(a>0\), \(x \in \mathbb{R})\)の\(y\)の最大値と最小値ついて考えてみよう。

\( x \)が、実数全体(\(x \in \mathbb{R}\))の値を取る場合、減少から増加に転ずる点、頂点\( ( 0, 0 ) \)において、最小値\( y= 0 \)をとる。

下に凸の放物線

一方、\( x \)、\( y \)の値は、\( x \)が小さくなればなるほど、\( y \)も限りなく大きくなる。そのため、\( x \)最大値は存在しない。
同様に\( x>0 \)において、\( y \)の値は、\( x \)が大きくなればなるほど、\( y \)も限りなく大きくなる。そのため、\( x>0 \)において\( y \)の最大値は存在しない。

つまり、

２次関数の基本形\( y=ax^2 ( a>0, x \in \mathbb{R})\)における\(y\)の最大値と最小値

は、

頂点\( ( 0, 0 ) \)において、最小値\( y= 0 \)をとり、最大値は存在しない。

最小値：\(y=0\) 　\( (x=0 ) \)、　最大値：なし

２次関数の基本形\( y=ax^2 ( \)\(a<0\), \(x \in \mathbb{R})\)の\(y\)の最大値と最小値ついて考えてみよう。

\( x \)が、実数全体(\(x \in \mathbb{R}\))の値を取る場合、増加から減少に転ずる点、頂点\( ( 0, 0 ) \)において、最大値\( y= 0 \)をとる。

一方、\( x、\( y \)の値は、\( x \)が小さくなればなるほど、\( y \)も限りなく小さくなる。そのため、\( x最小値は存在しない。
同様に\( x>0 \)において、\( y \)の値は、\( x \)が大きくなればなるほど、\( y \)も限りなく小さくなる。そのため、\( x>0 \)において\( y \)の最小値は存在しない。

つまり、

２次関数の基本形\( y=ax^2 ( a<0, x \in \mathbb{R})\)における\(y\)の最大値と最小値

は、

頂点\( ( 0, 0 ) \)において、最大値\( y= 0 \)をとり、最小値は存在しない。

最小値：なし、　最大値：\(y=0\) 　\( (x=0 ) \)

２次関数の基本形\( y=ax^2 (\) \(a>0\), \(x \in \mathbb{R})\)の\(y\)の最大値と最小値ついて考えてみよう。

\( x \)が、実数全体(\(x \in \mathbb{R}\))の値を取る場合、減少から増加に転ずる点、頂点\( ( 0, 0 ) \)において、最小値\( y= 0 \)をとる。

一方、\( x \)、\( y \)の値は、\( x \)が小さくなればなるほど、\( y \)も限りなく大きくなる。そのため、\( x \)最大値は存在しない。
同様に\( x>0 \)において、\( y \)の値は、\( x \)が大きくなればなるほど、\( y \)も限りなく大きくなる。そのため、\( x>0 \)において\( y \)の最大値は存在しない。

つまり、

２次関数の基本形\( y=ax^2 ( a>0, x \in \mathbb{R})\)における\(y\)の最大値と最小値

は、

頂点\( ( 0, 0 ) \)において、最小値\( y= 0 \)をとり、最大値は存在しない。

最小値：\(y=0\) 　\( (x=0 ) \)、　最大値：なし

\( a<0 \)のとき、グラフは下図のようになる。このような放物線を上に凸の放物線とよび、増加から減少に転ずる点を頂点という。

上に凸の放物線

 
この放物線も\(a>0\)のときと同様、\( y \)軸に関して対称で、その対称軸を放物線の軸と呼ぶ。下図の場合、放物線の軸の方程式は、\(x=0\)となる。

上に凸の放物線と軸

\( a>0 \)のとき、グラフは下図のようになる。このような放物線を下に凸の放物線とよび、減少から増加に転ずる点を頂点という。

下に凸の放物線

放物線の軸