数学をもう一度・・・

$s < t$として、定義域が $s \leqq x \leqq t$における２次関数 $y=ax^2$ の最大値と最小値を以下の表にまとめる。定義域に頂点を含む場合、下図における（真ん中の3つの表の）定義域を表す黄色い線分の中点に注目すればよい。

$t \leqq 0$のとき（$x$の取り得る値が負の場合）
$a$の値	$a>0$	$a<0$
最大値	$s^2$　($x=s$)	$t^2$　($x=t$)
最小値	$t^2$　($x=t$)	$s^2$　($x=s$)
グラフ	下に凸の放物線の最大値と最小値($x$の取り得る値が負の場合)	上に凸の放物線の最大値と最小値($x$の取り得る値が負の場合)
$\frac{t+s}{2}<0$のとき　（$x$の取り得る値範囲に頂点を含む場合)
$a$の値	$a>0$	$a<0$
最大値	$s^2$　($x=s$)	$0$　($x=0$)
最小値	$0$　($x=0$)	$s^2$　($x=s$)
グラフ	下に凸の放物線の最大値と最小値($x$の取り得る値範囲に頂点を含む場合)	上に凸の放物線の最大値と最小値($x$の取り得る値範囲に頂点を含む場合)
$\frac{t+s}{2}=0$のとき　（$x$の取り得る値範囲に頂点を含みグラフが対称となる場合）
$a$の値	$a>0$	$a<0$
最大値	$s^2$　($x=s$または$x=t$)	$0$　($x=0$)
最小値	$0$　($x=0$)	$s^2$　($x=s$または$x=t$)
グラフ	下に凸の放物線の最大値と最小値($x$の取り得る値範囲に頂点を含む場合；特に頂点の$x$座標と定義域の中点が一致する場合)	下に凸の放物線の最大値と最小値($x$の取り得る値範囲に頂点を含む場合；特に頂点の$x$座標と定義域の中点が一致する場合)
$\frac{t+s}{2}>0$のとき　（$x$の取り得る値範囲に頂点を含む場合)
$a$の値	$a>0$	$a<0$
最大値	$t^2$　($x=t$)	$0$　($x=0$)
最小値	$0$　($x=0$)	$s^2$　($x=s$)
グラフ	下に凸の放物線の最大値と最小値($x$の取り得る値範囲に頂点を含む場合)	下に凸の放物線の最大値と最小値($x$の取り得る値範囲に頂点を含む場合)
$s \geqq 0$のとき（$x$の取り得る値が正の場合）
$a$の値	$a>0$	$a<0$
最大値	$t^2$　($x=t$)	$s^2$　($x=s$)
最小値	$s^2$　($x=s$)	$t^2$　($x=t$)
グラフ	下に凸の放物線の最大値と最小値(xの取り得る値が正の場合)	上に凸の放物線の最大値と最小値(xの取り得る値が正の場合)

２次関数の基本形$y=ax^2 ( a<0, x \in \mathbb{R})$における$y$の最大値と最小値

は、

最小値：なし、　最大値：$y=0$ 　$(x=0 )$

なぜなら、下図のように、$x$が、実数全体($x \in \mathbb{R}$)の値を取る場合、増加から減少に転ずる点が、頂点$( 0, 0 )$となるからである。よって、頂点のx座標、y座標から、$x=0$のとき最大値$y= 0$をとる。

上に凸の放物線

一方、最小値はグラフが無限に下方に伸びている。
$x、\( y$の値は、$x$が小さくなればなるほど、$y$も限りなく小さくなる。そのため、\( x最小値は存在しない。
同様に$x>0$において、$y$の値は、$x$が大きくなればなるほど、$y$も限りなく小さくなる。そのため、$x>0$において$y$の最小値は存在しない。

２次関数の基本形$y=ax^2 ( a>0, x \in \mathbb{R})$における$y$の最大値と最小値

は、

最小値：$y=0$ 　$(x=0 )$、　最大値：なし

である。
なぜなら、下図のように、$x$が、実数全体($x \in \mathbb{R}$)の値を取る場合、減少から増加に転ずる点が、頂点$( 0, 0 )$となるからである。よって、頂点の$x$座標、$y$座標から、$x=0$ のとき最小値$y= 0$をとる。

下に凸の放物線

一方、最大値はグラフが無限に上方に伸びている。
換言すると、$x$、$y$の値は、$x$が小さくなればなるほど、$y$も限りなく大きくなる。そのため、$x$最大値は存在しない。
同様に$x>0$において、$y$の値は、$x$が大きくなればなるほど、$y$も限りなく大きくなる。そのため、$x>0$において$y$の最大値は存在しない。

２次関数の基本形$y=ax^2 ($$a<0$, $x \in \mathbb{R})$の$y$の最大値と最小値ついて考えてみよう。

$x$が、実数全体($x \in \mathbb{R}$)の値を取る場合、増加から減少に転ずる点、頂点$( 0, 0 )$において、最大値$y= 0$をとる。

上に凸の放物線

一方、$x、\( y$の値は、$x$が小さくなればなるほど、$y$も限りなく小さくなる。そのため、\( x最小値は存在しない。
同様に$x>0$において、$y$の値は、$x$が大きくなればなるほど、$y$も限りなく小さくなる。そのため、$x>0$において$y$の最小値は存在しない。

つまり、

２次関数の基本形$y=ax^2 ( a<0, x \in \mathbb{R})$における$y$の最大値と最小値

は、

頂点$( 0, 0 )$において、最大値$y= 0$をとり、最小値は存在しない。

最小値：なし、　最大値：$y=0$ 　$(x=0 )$

２次関数の基本形$y=ax^2 ($ $a>0$, $x \in \mathbb{R})$の$y$の最大値と最小値ついて考えてみよう。

$x$が、実数全体($x \in \mathbb{R}$)の値を取る場合、減少から増加に転ずる点、頂点$( 0, 0 )$において、最小値$y= 0$をとる。

下に凸の放物線

一方、$x$、$y$の値は、$x$が小さくなればなるほど、$y$も限りなく大きくなる。そのため、$x$最大値は存在しない。
同様に$x>0$において、$y$の値は、$x$が大きくなればなるほど、$y$も限りなく大きくなる。そのため、$x>0$において$y$の最大値は存在しない。

つまり、

２次関数の基本形$y=ax^2 ( a>0, x \in \mathbb{R})$における$y$の最大値と最小値

は、

頂点$( 0, 0 )$において、最小値$y= 0$をとり、最大値は存在しない。

最小値：$y=0$ 　$(x=0 )$、　最大値：なし

２次関数の基本形$y=ax^2 ($$a<0$, $x \in \mathbb{R})$の$y$の最大値と最小値ついて考えてみよう。

$x$が、実数全体($x \in \mathbb{R}$)の値を取る場合、増加から減少に転ずる点、頂点$( 0, 0 )$において、最大値$y= 0$をとる。

一方、$x、\( y$の値は、$x$が小さくなればなるほど、$y$も限りなく小さくなる。そのため、\( x最小値は存在しない。
同様に$x>0$において、$y$の値は、$x$が大きくなればなるほど、$y$も限りなく小さくなる。そのため、$x>0$において$y$の最小値は存在しない。

つまり、

２次関数の基本形$y=ax^2 ( a<0, x \in \mathbb{R})$における$y$の最大値と最小値

は、

頂点$( 0, 0 )$において、最大値$y= 0$をとり、最小値は存在しない。

最小値：なし、　最大値：$y=0$ 　$(x=0 )$

２次関数の基本形$y=ax^2 ($ $a>0$, $x \in \mathbb{R})$の$y$の最大値と最小値ついて考えてみよう。

$x$が、実数全体($x \in \mathbb{R}$)の値を取る場合、減少から増加に転ずる点、頂点$( 0, 0 )$において、最小値$y= 0$をとる。

一方、$x$、$y$の値は、$x$が小さくなればなるほど、$y$も限りなく大きくなる。そのため、$x$最大値は存在しない。
同様に$x>0$において、$y$の値は、$x$が大きくなればなるほど、$y$も限りなく大きくなる。そのため、$x>0$において$y$の最大値は存在しない。

つまり、

２次関数の基本形$y=ax^2 ( a>0, x \in \mathbb{R})$における$y$の最大値と最小値

は、

頂点$( 0, 0 )$において、最小値$y= 0$をとり、最大値は存在しない。

最小値：$y=0$ 　$(x=0 )$、　最大値：なし

$a<0$のとき、グラフは下図のようになる。このような放物線を上に凸の放物線とよび、増加から減少に転ずる点を頂点という。

上に凸の放物線

 
この放物線も$a>0$のときと同様、$y$軸に関して対称で、その対称軸を放物線の軸と呼ぶ。下図の場合、放物線の軸の方程式は、$x=0$となる。

上に凸の放物線と軸

$a>0$のとき、グラフは下図のようになる。このような放物線を下に凸の放物線とよび、減少から増加に転ずる点を頂点という。

下に凸の放物線

放物線の軸