数学をもう一度・・・

点Qは自由に動き回ることができるか？点Qの動きは、点Pの動きに拘束される。\( X Y \)-座標平面上での点Qの動きと\( x y \)-座標平面上での点Pの動きの関連性を見つけて、式を使ってどのように表されるか考えてみよう。

\( x y\)-座標平面を、軸方向に\( 2 \)、\( y \)軸方向に\( 1 \)平行移動した座標平面を\( X Y\)-座標平面すると、点Qの描く軌跡（残像）は、\( X, Y \)を使って、どのように表されるだろうか。

下の図で、2次関数\( y = x^2 \)上の点Pは、軸方向に\( 2 \)、\( y \)軸方向に\( 1 \)平行移動すると、どのような曲線上を動くでしょうか？ 点Pをドラッグして点Qの軌跡（残像）を観察してみよう。

2次関数\( y = x^2 \)を\( x \)軸方向に\( 2 \)、\( y \)軸方向に\( 1 \)平行移動したグラフを考えてみよう。
下の図で、2次関数\( y = x^2 \)上の点Pは、軸方向に\( 2 \)、\( y \)軸方向に\( 1 \)平行移動すると、どのような曲線上を動くでしょうか？ 点Pをドラッグして点Qの動きを観察してみよう。

\(y\)が\(x\)に比例するときは、直線になりましたが、\(y\)が、\(x^2\)に比例するときは、直線ではないようです。もう少し細かく点を取ると、どうなるでしょう？

図．\(y\)が\(\frac{1}{2}x^2\)に比例する点をプロットする

この曲線は，物を投げたときの軌跡と一致することから，放物線と呼ばれている。　

下のグラフから座標平面上に点をプロットしてみよう。

の　\(x, y \)のペアを座標平面上にプロットすると、下図のようになる。

図．表の　\(x, y \)のペアを座標平面上にプロットする

物を投げたときに，その物体は図のような軌跡を描く 。

軌跡は、放物線を描く

次のような\(x\)と\(y\)の関係をみてみよう。

この表から，\(y\)を\(x\)の式で表すと
\[y=\frac{1}{2}x^2\]
となる。このように，
\[y=a x^2\]
の形で表されるとき，\(y\)は\(x^2\)に比例するという。

　

a, b と 点 A, B を動かして，比例の美しい性質を発見してみよう！