数学をもう一度・・・

\( a = x + y,~ b = xy \) を満たす 正の整数 \( x,~y\) が存在すれば，\(\sqrt{a+2\sqrt{b}}\) は次のように変形できる．
\[ \sqrt{a+2\sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y} .\]
その理由を考えてみよう．
\[
\begin{eqnarray*}
\sqrt{a+2\sqrt{b}} & = & \sqrt{x+y + 2\sqrt{xy}}\\
& = & \sqrt{(\sqrt{x})^2+(\sqrt{y})^2 + 2\sqrt{xy}} \\
& = & \sqrt{(\sqrt{x})^2+(\sqrt{y})^2 + 2\sqrt{x}\sqrt{y} } \\
& = & \sqrt{(\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2} \\
& = & \sqrt{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2} \\
& = & \bigg|\sqrt{x} + \sqrt{y}) \bigg| \\
& = & \sqrt{x} + \sqrt{y}
\end{eqnarray*}
\]

(例)
\[
\begin{eqnarray*}
\sqrt{5+2\sqrt{6}} & = & \sqrt{5+2\sqrt{2 \cdot 3}} \\
& = & \sqrt{2 + 3 + 2 \sqrt{2 \cdot 3}} \\
& = & \sqrt{\big(\sqrt{2}\big)^2 + \big(\sqrt{3}\big)^2 + 2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} \\
& = & \sqrt{\big(\sqrt{2} + \sqrt{3}\big)^2 } \\
& = & \big|~ \sqrt{2} + \sqrt{3}~ \big|
\end{eqnarray*}
\]
\( \sqrt{2} + \sqrt{3} > 0 \)より　　 \(\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{2} + \sqrt{3} \)

\(\sqrt{a+2\sqrt{b}}\)のように，根号の中に、根号が存在するものを二重根号という．
もし，\( a = x + y,~ b = xy \) を満たす 正の整数 \( x,~y\) が存在すれば，\(\sqrt{a+2\sqrt{b}}\) は次のように変形できる．
\[ \sqrt{a+2\sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y} \].

このように，二重の根号を一重の根号の形に変形することを，「二重根号を外す」という．

【どうして変形できるの？】

1. \( A=B,~B=C \) ならば \( A=C \)
2. \( A = B \) ならば \( A \pm C = B \pm C\) (複号同順)
3. \( A = B \) ならば \( AC = BC \)
4. \( A = B \) ならば \( \dfrac{A}{C}=\dfrac{B}{C}(C\neq 0)\)
5. \(A = B,~ C = D \) ならば \(A \pm C = B \pm D \) (複号同順)
6. \(A = B,~ C = D \) ならば \( AC = BD \)
7. \(A = B,~ C = D \) ならば \( \dfrac{A}{C}=\dfrac{B}{D}(CD\neq 0)\)

「平方完成する」とは、\( a\neq 0 \) のとき，\( ax^{2}+bx+c\) を \( a(x+p)^{2}+q \)　のように式を変形することである．実際に、 \( p, q \) が\( a, b, c\) を使ってどのように表されるか確かめてみよう．

\[
\begin{eqnarray*}
ax^{2}+bx+c & = & a\bigg(x^{2}+\displaystyle \frac{b}{a}x\bigg)+c \\
& = & a\displaystyle \Bigg\{x^{2}+2\cdot\frac{b}{2a}x+\bigg(\frac{b}{2a}\bigg)^{2}-\bigg(\frac{b}{2a}\bigg)^{2}\Bigg\}+c \\
& = & a\displaystyle \Bigg\{\bigg(x+\frac{b}{2a}\bigg)^{2}-\bigg(\frac{b}{2a}\bigg)^{2}\Bigg\}+c \\
& = & a\bigg(x+\displaystyle \frac{b}{2a}\bigg)^{2}-\frac{b^{2}}{4a}+c \\
& = & a\bigg(x+\displaystyle \frac{b}{2a}\bigg)^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a}
\end{eqnarray*}
\]

例：
\[
\begin{eqnarray*}
x^{2}+3x+5 & = & \bigg(x^{2}+2\displaystyle \cdot\frac{3}{2}x\bigg)+5 \\
& = & \displaystyle \Bigg\{\ x^{2}\ +\ 2\cdot\frac{3}{2}x\ +\bigg(\frac{3}{2}\bigg)^{2}-\bigg(\frac{3}{2}\bigg)^{2}\Bigg\}+5 \\
& = & \displaystyle \Bigg\{ \bigg(x+\frac{3}{2}\bigg)^{2}-\frac{9}{4}\Bigg\}+5 \\
& = & \bigg(x+\displaystyle \frac{3}{2}\bigg)^{2}+\frac{11}{4}
\end{eqnarray*}
\]

例：
\[
\begin{eqnarray*}
5x^{2}+3x+1 & = & 5\bigg(x^{2}+\displaystyle \frac{3}{5}x\bigg)+1 \\
& = & 5\displaystyle \Bigg\{x^{2}+2\cdot\frac{3}{2\cdot 5}x+\bigg(\frac{3}{2\cdot 5}\bigg)^{2}-\bigg(\frac{3}{2\cdot 5}\bigg)^{2}\Bigg\}+1 \\
& = & 5\displaystyle \Bigg\{x^{2}+2\cdot\frac{3}{10}x+\bigg(\frac{3}{10}\bigg)^{2}-\bigg(\frac{3}{10}\bigg)^{2}\Bigg\}+1 \\
& = & 5\displaystyle \Bigg\{\bigg(x+\frac{3}{10}\bigg)^{2}-\frac{9}{100}\Bigg\}+1 \\
& = & 5\Bigg(x+\displaystyle \frac{3}{10}\Bigg)^{2}-\frac{9}{20}+1 \\
& = & 5\Bigg(x+\displaystyle \frac{3}{10}\Bigg)^{2}+\frac{11}{20}
\end{eqnarray*}
\]

1. 整数\( a \)の約数のうち, 自分自身$a$を除いた約数の和が, \( a \)となるような数を \(完全数\)という.
   

   例: 6の約数は\( \{1, 2, 3, 6\} \)であり, \( 1+2+3=6 \)

2. 2組の整数の組を考えたとき, それぞれの整数の約数のうち自分自身を除いた約数の和が, 互いに他方と等しくなるような数を友愛数という.
   例：

   \( 220 \)と \(284 \) の約数はそれぞれ \( \{1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220\} \)と \( \{1, 2, 4, 71, 142, 284\} \) であり, それぞれの和は
   \[1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284\]
   と
   \[1+2+4+71+142=220\]
   である．

3. 社交数は, 友愛数と同様の関係をもつ異なる3つ以上の整数の組である．よって，友愛数は社交数が2つの整数の組である場合と捉えることが出来る．
   例：　

   \( 1264460 \) の約数は
   \[ \{1, 2, 4, 5, 10, 17, 20, 34, 68, 85, 170, 340, 3719,\\ 7438, 14876,
   18595, 37190, 63223, 74380, 126446, 252892, 316115,\\ 632230, 1264460\}\]
   自分自身を除いた約数の和は, \( 1547860 \)

   \( 1547860 \) の約数は
   \[ \{1, 2, 4, 5, 10, 20, 193, 386, 401, 772, 802, 965, 1604,\\ 1930, 2005,
   3860, 4010, 8020, 77393, 154786, 309572, 386965, 773930,\\ 1547860\} \]
   自分自身を除いた約数の和は, \( 1727636 \)

   \( 1727636 \) の約数は
   \[ \{1, 2, 4, 521, 829, 1042, 1658, 2084, 3316, 431909,\\ 863818, 1727636\} \]
   自分自身を除いた約数の和は, \( 1305184 \)

   \( 1305184 \) の約数は
   \[ \{1, 2, 4, 8, 16, 32, 40787, 81574, 163148, 326296,\\ 652592, 1305184\} \]
   自分自身を除いた約数の和は, \( 1264460 \)

• 1より大きい整数 \( n \) が1と \( n \) とのほかに (正の) 約数をもたないとき, \( n \) を 素数 といい, 2以上の整数で素数でないものを合成数という.
• 2以上の任意の整数は少なくとも1つの素数の約数をもつ.
• 合成数 \( n \) は2以上の \( \sqrt{n} \) を越えない約数をもつ. 即ち, 自然数 \( n \) が \( \sqrt{n} \)を越えない最大の整数以下のすべての素数で割り切れなければ, \( n \) は素数である.
• 任意の合成数は素数の積の形に表すことができ(素因数分解), 積の形はただ一通りに決まる (素因数分解の一意性).

注: 1は素数ではない.

• 整数 \( a \) が整数 \( b \) で割り切れるとき, \( a \) を \( b \) の倍数, \( b \) を \( a \) の約数という.
• 2つ以上の整数に共通な約数をこれらの公約数といい, 公約数のうちで最大なものを最大公約数という. 公約数はすべて最大公約数の約数である.
• 2つ以上の整数に共通な倍数をこれらの公倍数といい, 正の公倍数のうちで最小なものを最小公倍数という. 公倍数は無数にあり,すべて最小公倍数の倍数である.
• 2つの整数 \( a, b \) の最大公約数が1のとき, \(a\) と \(b\) とは互いに素であるという.

注1：~ 1はすべての整数の約数で, すべての整数は1の倍数である.
注2：~ 0はすべての整数の倍数だが, いかなる整数の約数でもない.
注3：~ 最大公約数を , G.C.D.(Greatest Common Divisor の略) 或いは, G. C. M. (Greatest Common Measure の略)といい, 最小公倍数を L. C. M. (Least Common Multiple の略) と略記する.

整数について、たいせつな事柄は、次のようなものが挙げられる．

• 除法の基本法則：2つの整数 \( a, b  ( b > 0 ) \) に対して, \( a=bq+r   ( 0 \leqq r < b) \) を満たす整数 \( q, r \) がただ1通り定まる.
• \( a=bq+r \) と表したとき，\( q \) を, 「 \( a \) を \( b \) で割ったときの商」, \( r \) を剰余 (余り) といい, \( r = 0 \) のとき, \( a \) は \( b \) で割り切れる (整除される) という.
• 整数の剰余による分類について：~\( p \) を2以上の整数とするとき, すべての整数は \( p \) を基準として, つぎのどれかの形で表される．
  \[ pn, pn+1, pn+2, \cdots\cdots, pn+(p-1)     ( n は\text{整数} ) \]
  すなわち, 整数全体の集合 \( \mathbb{Z} \) は, \( p \) で割った余りによって \( p \) 個の組に分類される. これを法 \( p \) による 剰余類 という.

例
\( p=2 \) とすると, \( 2n \) (偶数) と \( 2n+1 \) (奇数) の2つの類に分類され, \( p=3 \) とすると, \( 3n,\ 3n+1,\ 3n+2 \) の3つの類に分類される.

参考： \( p=2 \) のとき, \( 2n, 2n-1 \)． \( p=3 \) のとき, \( 3n, 3n \pm 1 \) という表し方がよく用いられる. これは \( 2n-1=2(n-1)+1,~~3n-1=3(n-1)+2\) として得られる形である.

2つの 自然数 \( a, b \) に加法, 或いは, 乗法を行った結果は, 1つの自然数である（自然数は, 加法について閉じている．また, 自然数は, 乗法について閉じている）が 減法および除法を行った結果は必ずしも自然数にならない．
そこで, \( a = b \) や \( a負の整数を考え, 数の概念を拡張する．この自然数, \( 0 \) および負の整数の3つを総称して整数という．