数学をもう一度・・・

2つの多項式（整式） \( A,~ B \) が与えられたとき，\( A + B, A – B \) も多項式（整式）となる．
\(A + B \) を多項式（整式）の加法，\(A – B \) を多項式（整式）の減法といい，計算結果は，多項式を整理したものとする．

(例）\(A(x) = x^2 + 3x +1,~ B(x) = 3 x^2 – 2x + 1 \) とする．

\begin{eqnarray*}
A(x)+ B(x) & = & (x^2 + 3x +1) + (3 x^2 – 2x + 1) \\
& = &(1+3)x^2 + (3-2)x +1 +1 \\
& = & 4x^2 + x +2
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
A(x)-2B(x) & = & (x^2 + 3x +1) -2 (3 x^2 – 2x + 1) \\
& = & x^2 + 3x +1 ~ – ~ 6x^2 + 4x -2 \\
& = & (1-6)x^2 + (3 + 4)x +1-2 \\
& = & -5x^2 + 7x -1
\end{eqnarray*}

多項式についても分配法則が成り立つ．即ち，定数\( k \) に対して，
\[ k ( x + y ) = kx + ky \]
が成り立つ．

(例)
\[ 2(a+b) = 2a + 2b \]
\[ -3(a-b) = -3a + 3b \]

同類項は，
\[ 2x^2y + x^2y = 3x^2y \]
のようにまとめることが出来る．

このように同類項をまとめることを，同類項の簡約という．

同類項を簡約すると，与えられた多項式
\[ x^3 + 2x^2y + x + x^2y +1 \]
は，
\[ x^3 + 3x^2y + x +1\]
と変形できる．このように，同類項を簡約することを，「多項式を整理する」という．

多項式
\[ x^3 + 2x^2y + x + x^2y +1 \]
において，\( 2x^2y \)と\( x^2y \)は，係数以外文字の部分（種類と次数）が全く同じである．
このように，係数以外が全く同じである項を同類項(similar [like] term)という．

文字\( x \) についての多項式を\( P(x) \) や \( f(x) \) と表すことがある．

(例)
\[ P(x) = 3x^3 + 2 x^2 + x +1,~~f(x) = x^2-1 \]

更に，\( x,~y \) についての多項式を\( P(x,~y) \) や \( f(x,~y) \) と表すことがある．

(例)
\[ P(x,~y) = 3x^3y^2 + 2 x^2y+ x -y +1,~~f(x,~y) = xy^2-1 \]

多項式と多項式の和・差は，多項式となり，多項式と多項式の積もまた多項式となる．このように多項式は整数と同じような性質を持つことから，整式と呼ばれる．

注：「単項式と多項式を合わせて整式と呼ぶ」と定義している（高校）参考書もある．

因みに，整式も多項式も英語では，Polynomialである．このことから，\( 3x^2 \)のように，項が1つの単項式も整式，即ち，多項式と呼ぶことができる．

多項式において，ある文字に注目して，その文字の次数の高い方から低い方に
向かって並びかえることを降べきの順に整理するという．
反対に次数の低い方から高い力に向かって並びかえることを昇べきの順に整理
するという．

例えば，
\[ x^3 + 3xy^2 + x + y + 1 \]
を \( x \) について降べきの順に整理すると，
\[ x^3 + (3y^2 + 1)x + y + 1 \]
となり，
\( y \) について降べきの順に整理すると，
\[ 3xy^2 + y + x^3 + x + 1 \]
となる．

いくつかの単項式の和・差で表される式を多項式という．また，多項式を構成している単項式をその多項式の項という．
（整理された[同類項が簡約された]）多項式を構成している項の中で次数が最大のものを多項式の次数という．
例えば，
\[x^3+3x^2+3x+1\]
は\( x \)について 3次式となる．
\[x^3+3x^2y^2+3x+1\]
は\( x \)と\( y \)について 4次式となり， \( x \)について 3次式，\( y \)について 2次式となる．

単項式において，かけ算で表されている文字の個数をその単項式の次数という．

例えば，\(x^2\)の次数は \( 2 \)， \(3x^6y^4\)の次数は \( 10 \)，\(x\)の次数は \( 1 \)， \(xy\)の次数は \( 2 \)， \(3\)の次数は \(0 \) となる．

さらに，特定の文字，例えば\( x \)に注目すれば，
\(x^2\)の次数は \( 2 \)， \(3x^6y^4\)の次数は \( 6 \)， \(x\)の次数は \( 1 \)， \(xy\)の次数は \( 1 \)， \(3\)の次数は \( 0 \)　となる．

文字と数の積で表された式を 単項式といい，注目した文字以外の部分を係数という．

数と文字のかけ算
\[ -2 \times x \times x \times x \times y \times y \]
は，かけ算の記号”\( \times \)” を省いて，また，累乗は指数を使って
\[ -2x^3y^2 \]
と表す．