数学をもう一度・・・

数は, 演算や方程式の解の有無によって次のように分類される．
\[
\text{複素数}(\mathbb{C})\left\{\begin{array}{l}
\text{実数}(\mathbb{R})\left\{\begin{array}{l}
\text{有理数}(\mathbb{Q})\left\{\begin{array}{l}
\text{整数}(\mathbb{Z})\left\{\begin{array}{l}
\text{正の整数（}\mathbb{Z}^{+}\text{）－}(\text{自然数})(\mathbb{N})\\
\text{０}\\
\text{負の整数}(\mathbb{Z}^{-})
\end{array}\right.\\
\text{分      数}\left\{\begin{array}{l}
\text{有限小数}\\
\text{循環小数（無限小数）}\\
\end{array}\right.\\
\end{array}\right.\\
\text{無理数（循環しない無限小数）}
\end{array}\right.\\
\text{虚数}
\end{array}\right.
\]

集合の元に対する演算を考えてみよう．中学・高校で取り扱う数や式にの計算は, すべて加法と乗法という演算について次の3法則が成り立つ.

1. 交換法則(Commutative) \[ a+b=b+a, ab=ba \]
2. 結合法則(Associative) \[ (a+b)+c=a+(b+c),~~(ab)c=a(bc) \]
3. 分配法則(Distributive) \[a(b+c)=ab+ac\]

\( \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5} \) は小数で
\( \begin{eqnarray*}
\sqrt{2} &=& 1.4142135623730950488\cdots\cdots\\
\sqrt{3} &=& 1.7320508075688772935\cdots\cdots\\
\sqrt{5} &=& 2.2360679774997896964\cdots\cdots\\
\end{eqnarray*}
\)
となる． \( 1.41 \) はコピー機で用紙の2倍拡大で馴染みの数字であるが，それぞれの小数の覚え方は，
\(
\begin{eqnarray*}
\sqrt{2} &=& 1.41421356\cdots\cdots \text{(一夜一夜に人見頃)}\\
\sqrt{3} &=& 1.7320508\cdots\cdots \text{(人並みに奢れや)}\\
\sqrt{5} &=& 2.2360679\cdots\cdots \text{(富士山麓, 鸚鵡鳴く)}\\
\end{eqnarray*}
\)
という語呂合わせが有名である．興味があれば，他の語呂合わせも調べてみるとよい．

正の有理数 \( a \) が完全平方数でないとき, 即ち2乗して \( a \) になる数は，有理数ではなく, 有限小数や循環小数の形で表すことができない. このように循環しない無限小数を考えて, 数の集合を拡張した数の集合を無理数という. 2乗して \( a \) になる数を \( a \) の平方根という. 正の数 \( a \) の平方根は2つあって，それらは、絶対値が等しく符号が反対である．その正の方を \( \sqrt{a} \), 負の方を \( -\sqrt{a} \) で表す. また \( \sqrt{0}=0 \)とする. 例えば，\( 4 \) の平方根は2乗して \( 4 \) になる数なので, \( -2 \)と \( 2 \) になる. ところが, \( 2 \) の平方根は，無理数となる. そこで，新しく根号という記号 \( \sqrt{\ } \) を導入し, 2乗して\( 2 \) になる平方根のうち正の平方根を \( \sqrt{2} \)と記すことにする. 記号 \( \sqrt{\ } \) は，平方根の「根 root」の r を図案化したものである。

1. \( a>0,~b>0 \) ならば \( \sqrt{\mathstrut a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)
2. \( a>0,~b>0 \) ならば \( \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}} \)

が成り立つ．また，加法・減法については，\( a>0,~b>0,~ a \ne b\) ならば \( \sqrt{\mathstrut a}+\sqrt{b} \) はこれ以上簡単に表記することは出来ない．

例

1. \( (2+\sqrt{3})-(1-\sqrt{5})=2+\sqrt{3}-1+\sqrt{5}=1+\sqrt{3}+\sqrt{5} \)
2. \( (2+\sqrt{3})-(1-\sqrt{3})=2+\sqrt{3}-1+\sqrt{3}=1+2\sqrt{3} \)
3. \( \sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{2 \cdot 3}=\sqrt{6} \)
4. \( \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\dfrac{3}{6}}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}\)
5. \( \big(~\sqrt{2}~\big)^2 = \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2\cdot2}=\sqrt{2^2}=|2|=2 \)
6. \( \sqrt{(-2)^2}=|-2|=2 \)
7. \( \sqrt{8}=\sqrt{2^3}=\sqrt{2^2\cdot2}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2} \)

根号に関して

1. \( a\geqq 0 \) のとき \( \sqrt{a}\geqq 0 \)
2. \( \sqrt{a^{2}}=|a|=\left\{\begin{array}{l}
      a  (a > 0)\\
      0  (a = 0)\\
   -a  (a < 0) \end{array}\right. \)

となる．
注 \( a<0 \) のとき, \( a \) の平方根は虚数となる．
　

1. \( a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc+2ca+2ab = (a+b+c)^2 \)
2. \( x^{3}+(a+b+c)x^{2}+(bc+ca+ab)x+abc = (x+a)(x+b)(x+c) \)
3. \( a^{3}\pm b^{3} = (a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2}) \) (複号同順)
4. \( a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4} = (a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2}) \)
5. \( a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-bc-ca-ab) \)

1. \( ma\pm mb = m(a\pm b) \) (複号同順)
2. \( a^{2}\pm 2ab+b^{2} = (a\pm b)^{2} \) (複号同順)
3. \( a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b) \)
4. \( x^{2}+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b) \)
5. \( acx^{2}+(bc+ad)x+bd = (ax+b)(cx+d) \)
6. \( a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3} = (a\pm b)^{3} \) (複号同順)

自然数は, 我々が幼児期にもつ最初の数の概念であり, 自然数全体の集合\( \mathbb{N} \)は以下の演算について閉じている．

1. 自然数全体の集合$\mathbb{N}$は加法について閉じている.

\[ \forall a\in \mathbb{N},\forall b\in \mathbb{N} \Longrightarrow a+b\in \mathbb{N} \]

2. 自然数全体の集合$\mathbb{N}$は乗法について閉じている.

\[ \forall a\in \mathbb{N},\forall b\in \mathbb{N} \Longrightarrow ab\in \mathbb{N} \]

\( \forall a\in \mathbb{N} \)は, 「自然数 \( \mathbb{N} \)から任意の数\( a \)を取り出す」という意味である．\( \forall \)の記号はAnyの頭文字を図案化したもので, 「\( \mathbb{N} \)からどんな数\( a \)を取り出しても」と平易な言葉で表現することも出来る．
また, 「閉じている」という表現は「集合」で用いられる用語で, 集合 \( \mathbb{S} \) （例えば, \( \mathbb{N} \) ）が, ある演算（例えば, 加法）について「閉じている」とは, \( \mathbb{S} \) の要素をどのように好き勝手に取ってきても, その演算を施すと, 値は \( \mathbb{S} \) の要素になるという意味である．

　

1. \( a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab \)
2. \( (a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2}) \)
3. \( (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab \)
4. \( a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b), a^{3}-b^{3}=(a-b)^{3}+3ab(a-b) \)
5. \( a^{2}+b^{2}+c^{2}-bc-ca-ab=\displaystyle \frac{1}{2}\{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\} \)