数学をもう一度・・・

1. \( a>0,~b>0 \) ならば \( \sqrt{\mathstrut a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)
2. \( a>0,~b>0 \) ならば \( \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}} \)

が成り立つ．また，加法・減法については，\( a>0,~b>0,~ a \ne b\) ならば \( \sqrt{\mathstrut a}+\sqrt{b} \) はこれ以上簡単に表記することは出来ない．

例

1. \( (2+\sqrt{3})-(1-\sqrt{5})=2+\sqrt{3}-1+\sqrt{5}=1+\sqrt{3}+\sqrt{5} \)
2. \( (2+\sqrt{3})-(1-\sqrt{3})=2+\sqrt{3}-1+\sqrt{3}=1+2\sqrt{3} \)
3. \( \sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{2 \cdot 3}=\sqrt{6} \)
4. \( \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\dfrac{3}{6}}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}\)
5. \( \big(~\sqrt{2}~\big)^2 = \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2\cdot2}=\sqrt{2^2}=|2|=2 \)
6. \( \sqrt{(-2)^2}=|-2|=2 \)
7. \( \sqrt{8}=\sqrt{2^3}=\sqrt{2^2\cdot2}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2} \)

根号に関して

1. \( a\geqq 0 \) のとき \( \sqrt{a}\geqq 0 \)
2. \( \sqrt{a^{2}}=|a|=\left\{\begin{array}{l}
      a  (a > 0)\\
      0  (a = 0)\\
   -a  (a < 0) \end{array}\right. \)

となる．
注 \( a<0 \) のとき, \( a \) の平方根は虚数となる．
　

1. \( a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc+2ca+2ab = (a+b+c)^2 \)
2. \( x^{3}+(a+b+c)x^{2}+(bc+ca+ab)x+abc = (x+a)(x+b)(x+c) \)
3. \( a^{3}\pm b^{3} = (a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2}) \) (複号同順)
4. \( a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4} = (a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2}) \)
5. \( a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-bc-ca-ab) \)

1. \( ma\pm mb = m(a\pm b) \) (複号同順)
2. \( a^{2}\pm 2ab+b^{2} = (a\pm b)^{2} \) (複号同順)
3. \( a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b) \)
4. \( x^{2}+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b) \)
5. \( acx^{2}+(bc+ad)x+bd = (ax+b)(cx+d) \)
6. \( a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3} = (a\pm b)^{3} \) (複号同順)

自然数は, 我々が幼児期にもつ最初の数の概念であり, 自然数全体の集合\( \mathbb{N} \)は以下の演算について閉じている．

1. 自然数全体の集合$\mathbb{N}$は加法について閉じている.

\[ \forall a\in \mathbb{N},\forall b\in \mathbb{N} \Longrightarrow a+b\in \mathbb{N} \]

2. 自然数全体の集合$\mathbb{N}$は乗法について閉じている.

\[ \forall a\in \mathbb{N},\forall b\in \mathbb{N} \Longrightarrow ab\in \mathbb{N} \]

\( \forall a\in \mathbb{N} \)は, 「自然数 \( \mathbb{N} \)から任意の数\( a \)を取り出す」という意味である．\( \forall \)の記号はAnyの頭文字を図案化したもので, 「\( \mathbb{N} \)からどんな数\( a \)を取り出しても」と平易な言葉で表現することも出来る．
また, 「閉じている」という表現は「集合」で用いられる用語で, 集合 \( \mathbb{S} \) （例えば, \( \mathbb{N} \) ）が, ある演算（例えば, 加法）について「閉じている」とは, \( \mathbb{S} \) の要素をどのように好き勝手に取ってきても, その演算を施すと, 値は \( \mathbb{S} \) の要素になるという意味である．

　

1. \( a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab \)
2. \( (a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2}) \)
3. \( (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab \)
4. \( a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b), a^{3}-b^{3}=(a-b)^{3}+3ab(a-b) \)
5. \( a^{2}+b^{2}+c^{2}-bc-ca-ab=\displaystyle \frac{1}{2}\{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\} \)

1. \( (a+b+c)^2=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc+2ca+2ab \)
2. \( (x+a)(x+b)(x+c)=x^{3}+(a+b+c)x^{2}+(bc+ca+ab)x+abc \)
3. \( (a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})=a^{3}\pm b^{3} \) (複号同順)
4. \( (a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})=a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4} \)
5. \( (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-bc-ca-ab)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc \)

1. \( m(a\pm b)=ma\pm mb \) (複号同順)
2. \( (a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2} \) (複号同順)
3. \( (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2} \)
4. \( (x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab \)
5. \( (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(bc+ad)x+bd \)
6. \( (a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3} \) (複号同順)

\( a>0, b>0 \) とするとき, \( \dfrac{b}{\sqrt{a}} \)および\( \dfrac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \)の分母の根号を外すことを分母の有理化という. 分母の有理化をおこなうためには，多項式の乗法公式Ⅰ（展開公式Ⅰ）を応用する．

以下に実際の計算例を示す．
例

1. \( \dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{b\sqrt{3}}{\big(~\sqrt{3}~\big)^2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \)
2. \( \dfrac{5}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\dfrac{5}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \)
   \(
   \begin{eqnarray*}
   & = & \dfrac{5}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} \\
   & = & \dfrac{5\big(\sqrt{2}-\sqrt{3}~\big)}{\big(\sqrt{2}\big)^2-\big(\sqrt{3}\big)^2} \\
   & = & \dfrac{5 \sqrt{2}-5\sqrt{3}}{2-3}\\
   & = & \dfrac{5 \sqrt{2}-5\sqrt{3}}{-1}\\
   & = & 5\sqrt{3}-5\sqrt{2}
   \end{eqnarray*} \)
3. \( \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}} \)
   \(
   \begin{eqnarray*}
   & = & \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}} \\
   & = & \dfrac{\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)-\sqrt{5}}{\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)^2-\big(\sqrt{5}\big)^2} \\
   & = & \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\big(\sqrt{2}\big)^2+2\sqrt{2}\sqrt{3}+\big(\sqrt{3}\big)^2-\big(\sqrt{5}\big)^2} \\
   & = & \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2+2\sqrt{6}+3-5} \\
   & = & \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}} \\
   & = & \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}}\cdot\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \\
   & = & \dfrac{\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}\big)\sqrt{6}}{2\big(\sqrt{6}\big)^2} \\
   & = &\dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}+\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}-\sqrt{5}\cdot\sqrt{6}}{2 \cdot 6} \\
   & = & \dfrac{\sqrt{2 \cdot6}+\sqrt{3 \cdot 6}-\sqrt{5 \cdot 6}}{12} \\
   & = & \dfrac{\sqrt{2^2 \cdot3}+\sqrt{3^2 \cdot 2}-\sqrt{30}}{12} \\
   & = & \dfrac{\sqrt{2^2} \cdot\sqrt{3}+\sqrt{3^2} \cdot \sqrt{2}-\sqrt{30}}{12} \\
   & = & \dfrac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}
   \end{eqnarray*} \)

\( a \)が集合 \( A \)の元であるか否かを次のように記述する．

• \( a\in A \cdots\cdots a \) は集合 \( A \) の元である.
• \( a\not\in A \cdots\cdots a \) は集合 \( A \) の元でない.

\( \in \)は, elementの頭文字を図案化したものである．
また, 集合の表し方は,

• 元の表示: 集合に属する元を $\{ \}$のなかに列挙しておく. この場合元の順序は問題としない (外延的表示).
• 条件の記述 : 集合に属する元の満たすべき条件を示し \( \{x|p(x)\} \)のように表す.

\( p(x) \) は条件で, この条件は文章で示されるほか, 等式, 不等式などで表されることもある (内包的表示).

例

• 24の (正の) 約数の集合 \( A \)

\( A= \{ x|x \text{は24の約数}\}, A=\{1,2.3,4,6,8,12,24\} \)

• 奇数の集合 \( B \)

\( B=\{ 2n-1 | n \in \mathbb{N} \} \)

• \( x^{2}-4\leqq 0 \) を満たす整数 \( x \) の集合 \( B \), 実数 \( x \) の集合 \( C \)

\( B=\{x|x^{2}-4\leqq 0,\ x\in Z\} \), 或いは, \( \ B=\{-2,\ -1,0,1,2\} \)

\( C=\{x|x^{2}-4\leqq 0\} \) (厳密には \( C=\{x|x^{2}-4\leqq 0,\ x\in \mathbb{R}\} \) )