数学をもう一度・・・

\( a>0 \)のとき、グラフは下図のようになる。このような放物線を下に凸の放物線とよび、減少から増加に転ずる点を頂点という。

下に凸の放物線

放物線の軸

グラフを描いて，どのようなことに気づきましたか？

• ■グラフは軸について左右対称（対称の軸を放物線の軸という）

• ■ \( a > 0 \)のとき
  • □グラフは上に開いている
  • □\( a \)の値が大きくなると，開き方が狭くなる．
  • □\( y \)の値は\( x > 0 \)において減少
  • □\( y \)の値は\( x \geqq 0 \)において減少
  • ■ \( a < 0 \)のとき
    • □グラフは下に開いている
    • □\( a \)の値が小さくなると，開き方が狭くなる．
    • □\( y \)の値は\( x >0 \)において増加
    • □\( y \)の値は\( x \geqq 0 \)において減少
    • ■ \( a = 0 \)のとき、グラフが軸と重なる

下のグラフの a の値を変化させてみましょう。 a の値によってグラフの形状はどのように変化するか観察してみよう。

点Qは自由に動き回ることができるか？点Qの動きは、点Pの動きに拘束される。\( X Y \)-座標平面上での点Qの動きと\( x y \)-座標平面上での点Pの動きの関連性を見つけて、式を使ってどのように表されるか考えてみよう。

\( x y\)-座標平面を、軸方向に\( 2 \)、\( y \)軸方向に\( 1 \)平行移動した座標平面を\( X Y\)-座標平面すると、点Qの描く軌跡（残像）は、\( X, Y \)を使って、どのように表されるだろうか。

下の図で、2次関数\( y = x^2 \)上の点Pは、軸方向に\( 2 \)、\( y \)軸方向に\( 1 \)平行移動すると、どのような曲線上を動くでしょうか？ 点Pをドラッグして点Qの軌跡（残像）を観察してみよう。

2次関数\( y = x^2 \)を\( x \)軸方向に\( 2 \)、\( y \)軸方向に\( 1 \)平行移動したグラフを考えてみよう。
下の図で、2次関数\( y = x^2 \)上の点Pは、軸方向に\( 2 \)、\( y \)軸方向に\( 1 \)平行移動すると、どのような曲線上を動くでしょうか？ 点Pをドラッグして点Qの動きを観察してみよう。

\(y\)が\(x\)に比例するときは、直線になりましたが、\(y\)が、\(x^2\)に比例するときは、直線ではないようです。もう少し細かく点を取ると、どうなるでしょう？

図．\(y\)が\(\frac{1}{2}x^2\)に比例する点をプロットする

この曲線は，物を投げたときの軌跡と一致することから，放物線と呼ばれている。　

下のグラフから座標平面上に点をプロットしてみよう。

の　\(x, y \)のペアを座標平面上にプロットすると、下図のようになる。

図．表の　\(x, y \)のペアを座標平面上にプロットする