数学をもう一度・・・

根号に関して

1. \( a\geqq 0 \) のとき \( \sqrt{a}\geqq 0 \)
2. \( \sqrt{a^{2}}=|a|=\left\{\begin{array}{l}
      a  (a > 0)\\
      0  (a = 0)\\
   -a  (a < 0) \end{array}\right. \)

となる．
注 \( a<0 \) のとき, \( a \) の平方根は虚数となる．
　

1. \( a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc+2ca+2ab = (a+b+c)^2 \)
2. \( x^{3}+(a+b+c)x^{2}+(bc+ca+ab)x+abc = (x+a)(x+b)(x+c) \)
3. \( a^{3}\pm b^{3} = (a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2}) \) (複号同順)
4. \( a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4} = (a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2}) \)
5. \( a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-bc-ca-ab) \)

1. \( ma\pm mb = m(a\pm b) \) (複号同順)
2. \( a^{2}\pm 2ab+b^{2} = (a\pm b)^{2} \) (複号同順)
3. \( a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b) \)
4. \( x^{2}+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b) \)
5. \( acx^{2}+(bc+ad)x+bd = (ax+b)(cx+d) \)
6. \( a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3} = (a\pm b)^{3} \) (複号同順)

自然数は, 我々が幼児期にもつ最初の数の概念であり, 自然数全体の集合\( \mathbb{N} \)は以下の演算について閉じている．

1. 自然数全体の集合$\mathbb{N}$は加法について閉じている.

\[ \forall a\in \mathbb{N},\forall b\in \mathbb{N} \Longrightarrow a+b\in \mathbb{N} \]

2. 自然数全体の集合$\mathbb{N}$は乗法について閉じている.

\[ \forall a\in \mathbb{N},\forall b\in \mathbb{N} \Longrightarrow ab\in \mathbb{N} \]

\( \forall a\in \mathbb{N} \)は, 「自然数 \( \mathbb{N} \)から任意の数\( a \)を取り出す」という意味である．\( \forall \)の記号はAnyの頭文字を図案化したもので, 「\( \mathbb{N} \)からどんな数\( a \)を取り出しても」と平易な言葉で表現することも出来る．
また, 「閉じている」という表現は「集合」で用いられる用語で, 集合 \( \mathbb{S} \) （例えば, \( \mathbb{N} \) ）が, ある演算（例えば, 加法）について「閉じている」とは, \( \mathbb{S} \) の要素をどのように好き勝手に取ってきても, その演算を施すと, 値は \( \mathbb{S} \) の要素になるという意味である．

　

1. \( a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab \)
2. \( (a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2}) \)
3. \( (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab \)
4. \( a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b), a^{3}-b^{3}=(a-b)^{3}+3ab(a-b) \)
5. \( a^{2}+b^{2}+c^{2}-bc-ca-ab=\displaystyle \frac{1}{2}\{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\} \)