数学をもう一度・・・

2つの多項式（整式） $A,~ B$ が与えられたとき，$A + B, A – B$ も多項式（整式）となる．
$A + B$ を多項式（整式）の加法，$A – B$ を多項式（整式）の減法といい，計算結果は，多項式を整理したものとする．

(例）$A(x) = x^2 + 3x +1,~ B(x) = 3 x^2 – 2x + 1$ とする．

$$\begin{eqnarray*} A(x)+ B(x) & = & (x^2 + 3x +1) + (3 x^2 – 2x + 1) \\ & = &(1+3)x^2 + (3-2)x +1 +1 \\ & = & 4x^2 + x +2 \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} A(x)-2B(x) & = & (x^2 + 3x +1) -2 (3 x^2 – 2x + 1) \\ & = & x^2 + 3x +1 ~ – ~ 6x^2 + 4x -2 \\ & = & (1-6)x^2 + (3 + 4)x +1-2 \\ & = & -5x^2 + 7x -1 \end{eqnarray*}$$

　

多項式についても分配法則が成り立つ．即ち，定数$k$ に対して，

$$k ( x + y ) = kx + ky$$
が成り立つ．

(例)

$$2(a+b) = 2a + 2b$$
$$-3(a-b) = -3a + 3b$$

　

同類項は，

$$2x^2y + x^2y = 3x^2y$$
のようにまとめることが出来る．

このように同類項をまとめることを，同類項の簡約という．

同類項を簡約すると，与えられた多項式

$$x^3 + 2x^2y + x + x^2y +1$$
は，
$$x^3 + 3x^2y + x +1$$
と変形できる．このように，同類項を簡約することを，「多項式を整理する」という．

　

多項式

$$x^3 + 2x^2y + x + x^2y +1$$
において，$2x^2y$と$x^2y$は，係数以外文字の部分（種類と次数）が全く同じである．
このように，係数以外が全く同じである項を同類項(similar [like] term)という．

　

文字$x$ についての多項式を$P(x)$ や $f(x)$ と表すことがある．

(例)

$$P(x) = 3x^3 + 2 x^2 + x +1,~~f(x) = x^2-1$$

更に，$x,~y$ についての多項式を$P(x,~y)$ や $f(x,~y)$ と表すことがある．

(例)

$$P(x,~y) = 3x^3y^2 + 2 x^2y+ x -y +1,~~f(x,~y) = xy^2-1$$