数学をもう一度・・・

多項式の計算において，\( x \) や \( y \) などの文字は，特に意味は無く未知数を扱うための文字を用いた一つの表現(expression：式)に過ぎない．
例えば，未知数\( x \)がどのような値を取るかわからないが（任意の\(x\)について），
\[2x^3+x^2-x+1\]
と表現された式があるとする． もし，\( x \) が \(2\) であれば，\( x \)の代わりに\( 2 \) を書いて，
\[ 2 \cdot 2^3 + 2^2\ – 2 +1 = 19 \]
となる． このように，文字 \( x \) を \( 2 \) に置き換えることを，
式に値を代入するといい，その代入した結果の値を式の値という．

（例）\( x=-2 \) のとき，式 \( x^2 – x^3 \) の値を求めよ．
\[ x^2 – x^3 = (-2)^2 – (-2)^3 = 4-(-8) = 4+8 = 12\]

（例）\( x=123,~y=122 \) のとき，式 \( x^2 – y^2 \) の値を求めよ．
\[ x^2 – y^2 = (x+y)(x-y)=(123+122)(123-122)=145 \cdot 1 = 145\]

多項式と多項式の積も，分配法則を利用すれば，単項式と単項式の計算となる．
例えば，
\[ (x^2 + y^3)( x + y^2 )\]
は，
\begin{eqnarray*}
\color{red}{(x^2 + y^3)}( x + y^2 ) & = & \color{red}{(x^2 + y^3)} x + \color{red}{(x^2 + y^3)}y^2\\
& = & x^3 + xy^3 + x^2y^2 + y^5 \\
& = & x^3 + x^2y^2 + xy^3 + y^5
\end{eqnarray*}
となる．

(注)
\( A=(x^2 + y^3) \)とおけば，分配法則より\(A( x + y^2 )=Ax+Ay^2\)となる．
\( A \) を元に戻せば，\( (x^2 + y^3)x +(x^2 + y^3)y^2 \)が得られる．

単項式と多項式の積は，分配法則を利用すれば，単項式と単項式の計算となる．
例えば，
\[ x^2y^3( x + y^2 )\]
は，
\begin{eqnarray*}
x^2y^3( x + y^2 ) & = & (x^2y^3) \times x + (x^2y^3) \times y^2 \\
& = & x^3 y^3 + x^2 y^5
\end{eqnarray*}
となる．

単項式と単項式の積は，交換法則と指数法則を利用する．
例えば，
\[ (x^2y^3) \times ( x y^2 )^3\]
は，
\begin{eqnarray*}
(x^2y^3) \times ( x y^2 )^3 & = & (x^2 \times y^3) \times ( x^{1 \times 3} \times y^{2 \times 3} ) \\
& = & x^2 \times y^3 \times x^3 \times y^6 \\
& = & x^2 \times x^3 \times y^3 \times y^6 \\
& = & x^{2 + 3} \times y^{3 + 6} \\
& = & x^5 y^9 \\
\end{eqnarray*}
となる．

1. \( x^2 \times x^3 = (x \times x ) \times (x \times x \times x ) = x^5 (=x^{2+3}) \)
2. \( \big(x^3\big)^2 = (x \times x \times x ) \times (x \times x \times x ) = x^6 (=x^{3 \times 2}) \)
3. \( \big(x y\big)^2 = (x \times y) \times (x \times y ) = x \times y \times x \times y = x \times x \times y \times y = x^2y^2 \)

一般に，\( m,~n \) を整数としたとき，

1. \( x^m \times x^n = x^{m+n} \)
2. \( \big(x^m\big)^n = x^{m n} \)
3. \( \big(x y\big)^m = x^m y^m \)

が成り立つ．これを指数法則という．

また，\( x \ne 0 \)のとき，\( x^0 = 1 \) とし，\( p \)を正の整数とするとき，\( p^{-1} = \frac{1}{p} \)と定義する．