数学をもう一度・・・

文字\( x \) を含む等式において，\( x \) にどのような値を代入しても両辺の値が等しくなる式を\( x \)についての恒等式(Identical equations)という．

換言すると，「任意の\(x\)に対して成り立つ等式を恒等式という」

文字\( x \) を含む等式において，その等式が，\(x\)について恒等式でないならば，
その等式を\( x \)についての方程式(Equations)という．
また，等号が成り立つときの\(x\) の値をその方程式の解(Solution)という．

換言すると，「特定の\(x\)に対して成り立つ等式を方程式という」

多項式の計算において，\( x \) や \( y \) などの文字は，特に意味は無く未知数を扱うための文字を用いた一つの表現(expression：式)に過ぎない．
例えば，未知数\( x \)がどのような値を取るかわからないが（任意の\(x\)について），
\[2x^3+x^2-x+1\]
と表現された式があるとする． もし，\( x \) が \(2\) であれば，\( x \)の代わりに\( 2 \) を書いて，
\[ 2 \cdot 2^3 + 2^2\ – 2 +1 = 19 \]
となる． このように，文字 \( x \) を \( 2 \) に置き換えることを，
式に値を代入するといい，その代入した結果の値を式の値という．

（例）\( x=-2 \) のとき，式 \( x^2 – x^3 \) の値を求めよ．
\[ x^2 – x^3 = (-2)^2 – (-2)^3 = 4-(-8) = 4+8 = 12\]

（例）\( x=123,~y=122 \) のとき，式 \( x^2 – y^2 \) の値を求めよ．
\[ x^2 – y^2 = (x+y)(x-y)=(123+122)(123-122)=145 \cdot 1 = 145\]

多項式と多項式の積も，分配法則を利用すれば，単項式と単項式の計算となる．
例えば，
\[ (x^2 + y^3)( x + y^2 )\]
は，
\begin{eqnarray*}
\color{red}{(x^2 + y^3)}( x + y^2 ) & = & \color{red}{(x^2 + y^3)} x + \color{red}{(x^2 + y^3)}y^2\\
& = & x^3 + xy^3 + x^2y^2 + y^5 \\
& = & x^3 + x^2y^2 + xy^3 + y^5
\end{eqnarray*}
となる．

(注)
\( A=(x^2 + y^3) \)とおけば，分配法則より\(A( x + y^2 )=Ax+Ay^2\)となる．
\( A \) を元に戻せば，\( (x^2 + y^3)x +(x^2 + y^3)y^2 \)が得られる．

単項式と多項式の積は，分配法則を利用すれば，単項式と単項式の計算となる．
例えば，
\[ x^2y^3( x + y^2 )\]
は，
\begin{eqnarray*}
x^2y^3( x + y^2 ) & = & (x^2y^3) \times x + (x^2y^3) \times y^2 \\
& = & x^3 y^3 + x^2 y^5
\end{eqnarray*}
となる．

単項式と単項式の積は，交換法則と指数法則を利用する．
例えば，
\[ (x^2y^3) \times ( x y^2 )^3\]
は，
\begin{eqnarray*}
(x^2y^3) \times ( x y^2 )^3 & = & (x^2 \times y^3) \times ( x^{1 \times 3} \times y^{2 \times 3} ) \\
& = & x^2 \times y^3 \times x^3 \times y^6 \\
& = & x^2 \times x^3 \times y^3 \times y^6 \\
& = & x^{2 + 3} \times y^{3 + 6} \\
& = & x^5 y^9 \\
\end{eqnarray*}
となる．

1. \( x^2 \times x^3 = (x \times x ) \times (x \times x \times x ) = x^5 (=x^{2+3}) \)
2. \( \big(x^3\big)^2 = (x \times x \times x ) \times (x \times x \times x ) = x^6 (=x^{3 \times 2}) \)
3. \( \big(x y\big)^2 = (x \times y) \times (x \times y ) = x \times y \times x \times y = x \times x \times y \times y = x^2y^2 \)

一般に，\( m,~n \) を整数としたとき，

1. \( x^m \times x^n = x^{m+n} \)
2. \( \big(x^m\big)^n = x^{m n} \)
3. \( \big(x y\big)^m = x^m y^m \)

が成り立つ．これを指数法則という．

また，\( x \ne 0 \)のとき，\( x^0 = 1 \) とし，\( p \)を正の整数とするとき，\( p^{-1} = \frac{1}{p} \)と定義する．

2つの多項式（整式） \( A,~ B \) が与えられたとき，\( A + B, A – B \) も多項式（整式）となる．
\(A + B \) を多項式（整式）の加法，\(A – B \) を多項式（整式）の減法といい，計算結果は，多項式を整理したものとする．

(例）\(A(x) = x^2 + 3x +1,~ B(x) = 3 x^2 – 2x + 1 \) とする．

\begin{eqnarray*}
A(x)+ B(x) & = & (x^2 + 3x +1) + (3 x^2 – 2x + 1) \\
& = &(1+3)x^2 + (3-2)x +1 +1 \\
& = & 4x^2 + x +2
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
A(x)-2B(x) & = & (x^2 + 3x +1) -2 (3 x^2 – 2x + 1) \\
& = & x^2 + 3x +1 ~ – ~ 6x^2 + 4x -2 \\
& = & (1-6)x^2 + (3 + 4)x +1-2 \\
& = & -5x^2 + 7x -1
\end{eqnarray*}

多項式についても分配法則が成り立つ．即ち，定数\( k \) に対して，
\[ k ( x + y ) = kx + ky \]
が成り立つ．

(例)
\[ 2(a+b) = 2a + 2b \]
\[ -3(a-b) = -3a + 3b \]

同類項は，
\[ 2x^2y + x^2y = 3x^2y \]
のようにまとめることが出来る．

このように同類項をまとめることを，同類項の簡約という．

同類項を簡約すると，与えられた多項式
\[ x^3 + 2x^2y + x + x^2y +1 \]
は，
\[ x^3 + 3x^2y + x +1\]
と変形できる．このように，同類項を簡約することを，「多項式を整理する」という．

多項式
\[ x^3 + 2x^2y + x + x^2y +1 \]
において，\( 2x^2y \)と\( x^2y \)は，係数以外文字の部分（種類と次数）が全く同じである．
このように，係数以外が全く同じである項を同類項(similar [like] term)という．