中学 | 数学をもう一度・・・

整式(Polynomial)

多項式と多項式の和・差は，多項式となり，多項式と多項式の積もまた多項式となる．このように多項式は整数と同じような性質を持つことから，整式と呼ばれる．

注：「単項式と多項式を合わせて整式と呼ぶ」と定義している（高校）参考書もある．

因みに，整式も多項式も英語では，Polynomialである．このことから，$ 3x^2 $のように，項が1つの単項式も整式，即ち，多項式と呼ぶことができる．

降べきの順・昇べきの順

多項式において，ある文字に注目して，その文字の次数の高い方から低い方に
向かって並びかえることを降べきの順に整理するという．
反対に次数の低い方から高い力に向かって並びかえることを昇べきの順に整理
するという．

例えば，
\[ x^3 + 3xy^2 + x + y + 1 \]
を $ x $ について降べきの順に整理すると，
\[ x^3 + (3y^2 + 1)x + y + 1 \]
となり，
$ y $ について降べきの順に整理すると，
\[ 3xy^2 + y + x^3 + x + 1 \]
となる．

いくつかの単項式の和・差で表される式を多項式という．また，多項式を構成している単項式をその多項式の項という．
（整理された[同類項が簡約された]）多項式を構成している項の中で次数が最大のものを多項式の次数という．
例えば，
\[x^3+3x^2+3x+1\]
は$ x $について 3次式となる．
\[x^3+3x^2y^2+3x+1\]
は$ x $と$ y $について 4次式となり， $ x $について 3次式，$ y $について 2次式となる．

単項式の次数(Degree)

単項式において，かけ算で表されている文字の個数をその単項式の次数という．

例えば，$x^2$の次数は $ 2 $， $3x^6y^4$の次数は $ 10 $，$x$の次数は $ 1 $， $xy$の次数は $ 2 $， $3$の次数は $0 $ となる．

さらに，特定の文字，例えば$ x $に注目すれば，
$x^2$の次数は $ 2 $， $3x^6y^4$の次数は $ 6 $， $x$の次数は $ 1 $， $xy$の次数は $ 1 $， $3$の次数は $ 0 $　となる．

単項式(Monomial)

文字と数の積で表された式を単項式といい，注目した文字以外の部分を係数という．

数と文字のかけ算
\[ -2 \times x \times x \times x \times y \times y \]
は，かけ算の記号”$ \times $” を省いて，また，累乗は指数を使って
\[ -2x^3y^2 \]
と表す．

二重根号を外す

$ a = x + y,~ b = xy $ を満たす正の整数 $ x,~y$ が存在すれば，$\sqrt{a+2\sqrt{b}}$ は次のように変形できる．
\[ \sqrt{a+2\sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y} .\]
その理由を考えてみよう．
\[
\begin{eqnarray*}
\sqrt{a+2\sqrt{b}} & = & \sqrt{x+y + 2\sqrt{xy}}\\
& = & \sqrt{(\sqrt{x})^2+(\sqrt{y})^2 + 2\sqrt{xy}} \\
& = & \sqrt{(\sqrt{x})^2+(\sqrt{y})^2 + 2\sqrt{x}\sqrt{y} } \\
& = & \sqrt{(\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2} \\
& = & \sqrt{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2} \\
& = & \bigg|\sqrt{x} + \sqrt{y}) \bigg| \\
& = & \sqrt{x} + \sqrt{y}
\end{eqnarray*}
\]

(例)
\[
\begin{eqnarray*}
\sqrt{5+2\sqrt{6}} & = & \sqrt{5+2\sqrt{2 \cdot 3}} \\
& = & \sqrt{2 + 3 + 2 \sqrt{2 \cdot 3}} \\
& = & \sqrt{\big(\sqrt{2}\big)^2 + \big(\sqrt{3}\big)^2 + 2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} \\
& = & \sqrt{\big(\sqrt{2} + \sqrt{3}\big)^2 } \\
& = & \big|~ \sqrt{2} + \sqrt{3}~ \big|
\end{eqnarray*}
\]
$ \sqrt{2} + \sqrt{3} > 0 $より　　 $\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{2} + \sqrt{3} $

二重根号の外し方(simplify a radical sign under another radical sign)

$\sqrt{a+2\sqrt{b}}$のように，根号の中に、根号が存在するものを二重根号という．
もし，$ a = x + y,~ b = xy $ を満たす正の整数 $ x,~y$ が存在すれば，$\sqrt{a+2\sqrt{b}}$ は次のように変形できる．
\[ \sqrt{a+2\sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y} \].

このように，二重の根号を一重の根号の形に変形することを，「二重根号を外す」という．

【どうして変形できるの？】

等式の基本性質

$ A=B,~B=C $ ならば $ A=C $
$ A = B $ ならば $ A \pm C = B \pm C$ (複号同順)
$ A = B $ ならば $ AC = BC $
$ A = B $ ならば $ \dfrac{A}{C}=\dfrac{B}{C}(C\neq 0)$
$A = B,~ C = D $ ならば $A \pm C = B \pm D $ (複号同順)
$A = B,~ C = D $ ならば $ AC = BD $
$A = B,~ C = D $ ならば $ \dfrac{A}{C}=\dfrac{B}{D}(CD\neq 0)$

平方完成

「平方完成する」とは、$ a\neq 0 $ のとき，$ ax^{2}+bx+c$ を $ a(x+p)^{2}+q $　のように式を変形することである．実際に、 $ p, q $ が$ a, b, c$ を使ってどのように表されるか確かめてみよう．

\[
\begin{eqnarray*}
ax^{2}+bx+c & = & a\bigg(x^{2}+\displaystyle \frac{b}{a}x\bigg)+c \\
& = & a\displaystyle \Bigg\{x^{2}+2\cdot\frac{b}{2a}x+\bigg(\frac{b}{2a}\bigg)^{2}-\bigg(\frac{b}{2a}\bigg)^{2}\Bigg\}+c \\
& = & a\displaystyle \Bigg\{\bigg(x+\frac{b}{2a}\bigg)^{2}-\bigg(\frac{b}{2a}\bigg)^{2}\Bigg\}+c \\
& = & a\bigg(x+\displaystyle \frac{b}{2a}\bigg)^{2}-\frac{b^{2}}{4a}+c \\
& = & a\bigg(x+\displaystyle \frac{b}{2a}\bigg)^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a}
\end{eqnarray*}
\]

例：
\[
\begin{eqnarray*}
x^{2}+3x+5 & = & \bigg(x^{2}+2\displaystyle \cdot\frac{3}{2}x\bigg)+5 \\
& = & \displaystyle \Bigg\{\ x^{2}\ +\ 2\cdot\frac{3}{2}x\ +\bigg(\frac{3}{2}\bigg)^{2}-\bigg(\frac{3}{2}\bigg)^{2}\Bigg\}+5 \\
& = & \displaystyle \Bigg\{ \bigg(x+\frac{3}{2}\bigg)^{2}-\frac{9}{4}\Bigg\}+5 \\
& = & \bigg(x+\displaystyle \frac{3}{2}\bigg)^{2}+\frac{11}{4}
\end{eqnarray*}
\]

例：
\[
\begin{eqnarray*}
5x^{2}+3x+1 & = & 5\bigg(x^{2}+\displaystyle \frac{3}{5}x\bigg)+1 \\
& = & 5\displaystyle \Bigg\{x^{2}+2\cdot\frac{3}{2\cdot 5}x+\bigg(\frac{3}{2\cdot 5}\bigg)^{2}-\bigg(\frac{3}{2\cdot 5}\bigg)^{2}\Bigg\}+1 \\
& = & 5\displaystyle \Bigg\{x^{2}+2\cdot\frac{3}{10}x+\bigg(\frac{3}{10}\bigg)^{2}-\bigg(\frac{3}{10}\bigg)^{2}\Bigg\}+1 \\
& = & 5\displaystyle \Bigg\{\bigg(x+\frac{3}{10}\bigg)^{2}-\frac{9}{100}\Bigg\}+1 \\
& = & 5\Bigg(x+\displaystyle \frac{3}{10}\Bigg)^{2}-\frac{9}{20}+1 \\
& = & 5\Bigg(x+\displaystyle \frac{3}{10}\Bigg)^{2}+\frac{11}{20}
\end{eqnarray*}
\]

完全数(Perfect Numbers)・友愛数・社交数(Sociable Numbers)

整数$ a $の約数のうち, 自分自身$a$を除いた約数の和が, $ a $となるような数を $完全数$という.

例: 6の約数は$ \{1, 2, 3, 6\} $であり, $ 1+2+3=6 $
2組の整数の組を考えたとき, それぞれの整数の約数のうち自分自身を除いた約数の和が, 互いに他方と等しくなるような数を友愛数という.
例：

$ 220 $と $284 $ の約数はそれぞれ $ \{1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220\} $と $ \{1, 2, 4, 71, 142, 284\} $ であり, それぞれの和は
\[1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284\]
と
\[1+2+4+71+142=220\]
である．
社交数は, 友愛数と同様の関係をもつ異なる3つ以上の整数の組である．よって，友愛数は社交数が2つの整数の組である場合と捉えることが出来る．
例：　

$ 1264460 $ の約数は
\[ \{1, 2, 4, 5, 10, 17, 20, 34, 68, 85, 170, 340, 3719,\\ 7438, 14876,
18595, 37190, 63223, 74380, 126446, 252892, 316115,\\ 632230, 1264460\}\]
自分自身を除いた約数の和は, $ 1547860 $

$ 1547860 $ の約数は
\[ \{1, 2, 4, 5, 10, 20, 193, 386, 401, 772, 802, 965, 1604,\\ 1930, 2005,
3860, 4010, 8020, 77393, 154786, 309572, 386965, 773930,\\ 1547860\} \]
自分自身を除いた約数の和は, $ 1727636 $

$ 1727636 $ の約数は
\[ \{1, 2, 4, 521, 829, 1042, 1658, 2084, 3316, 431909,\\ 863818, 1727636\} \]
自分自身を除いた約数の和は, $ 1305184 $

$ 1305184 $ の約数は
\[ \{1, 2, 4, 8, 16, 32, 40787, 81574, 163148, 326296,\\ 652592, 1305184\} \]
自分自身を除いた約数の和は, $ 1264460 $

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