数学をもう一度・・・

2つの多項式（整式） \( A,~ B \) が与えられたとき，\( A + B, A – B \) も多項式（整式）となる．
\(A + B \) を多項式（整式）の加法，\(A – B \) を多項式（整式）の減法といい，計算結果は，多項式を整理したものとする．

(例）\(A(x) = x^2 + 3x +1,~ B(x) = 3 x^2 – 2x + 1 \) とする．

\begin{eqnarray*}
A(x)+ B(x) & = & (x^2 + 3x +1) + (3 x^2 – 2x + 1) \\
& = &(1+3)x^2 + (3-2)x +1 +1 \\
& = & 4x^2 + x +2
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
A(x)-2B(x) & = & (x^2 + 3x +1) -2 (3 x^2 – 2x + 1) \\
& = & x^2 + 3x +1 ~ – ~ 6x^2 + 4x -2 \\
& = & (1-6)x^2 + (3 + 4)x +1-2 \\
& = & -5x^2 + 7x -1
\end{eqnarray*}

多項式についても分配法則が成り立つ．即ち，定数\( k \) に対して，
\[ k ( x + y ) = kx + ky \]
が成り立つ．

(例)
\[ 2(a+b) = 2a + 2b \]
\[ -3(a-b) = -3a + 3b \]

同類項は，
\[ 2x^2y + x^2y = 3x^2y \]
のようにまとめることが出来る．

このように同類項をまとめることを，同類項の簡約という．

同類項を簡約すると，与えられた多項式
\[ x^3 + 2x^2y + x + x^2y +1 \]
は，
\[ x^3 + 3x^2y + x +1\]
と変形できる．このように，同類項を簡約することを，「多項式を整理する」という．

多項式
\[ x^3 + 2x^2y + x + x^2y +1 \]
において，\( 2x^2y \)と\( x^2y \)は，係数以外文字の部分（種類と次数）が全く同じである．
このように，係数以外が全く同じである項を同類項(similar [like] term)という．

文字\( x \) についての多項式を\( P(x) \) や \( f(x) \) と表すことがある．

(例)
\[ P(x) = 3x^3 + 2 x^2 + x +1,~~f(x) = x^2-1 \]

更に，\( x,~y \) についての多項式を\( P(x,~y) \) や \( f(x,~y) \) と表すことがある．

(例)
\[ P(x,~y) = 3x^3y^2 + 2 x^2y+ x -y +1,~~f(x,~y) = xy^2-1 \]