学びあい

整数について、たいせつな事柄は、次のようなものが挙げられる．

• 除法の基本法則：2つの整数 \( a, b  ( b > 0 ) \) に対して, \( a=bq+r   ( 0 \leqq r < b) \) を満たす整数 \( q, r \) がただ1通り定まる.
• \( a=bq+r \) と表したとき，\( q \) を, 「 \( a \) を \( b \) で割ったときの商」, \( r \) を剰余 (余り) といい, \( r = 0 \) のとき, \( a \) は \( b \) で割り切れる (整除される) という.
• 整数の剰余による分類について：~\( p \) を2以上の整数とするとき, すべての整数は \( p \) を基準として, つぎのどれかの形で表される．
  \[ pn, pn+1, pn+2, \cdots\cdots, pn+(p-1)     ( n は\text{整数} ) \]
  すなわち, 整数全体の集合 \( \mathbb{Z} \) は, \( p \) で割った余りによって \( p \) 個の組に分類される. これを法 \( p \) による 剰余類 という.

例
\( p=2 \) とすると, \( 2n \) (偶数) と \( 2n+1 \) (奇数) の2つの類に分類され, \( p=3 \) とすると, \( 3n,\ 3n+1,\ 3n+2 \) の3つの類に分類される.

参考： \( p=2 \) のとき, \( 2n, 2n-1 \)． \( p=3 \) のとき, \( 3n, 3n \pm 1 \) という表し方がよく用いられる. これは \( 2n-1=2(n-1)+1,~~3n-1=3(n-1)+2\) として得られる形である.