学びあい

自然数は, 我々が幼児期にもつ最初の数の概念であり, 自然数全体の集合\( \mathbb{N} \)は以下の演算について閉じている．

1. 自然数全体の集合$\mathbb{N}$は加法について閉じている.

\[ \forall a\in \mathbb{N},\forall b\in \mathbb{N} \Longrightarrow a+b\in \mathbb{N} \]

2. 自然数全体の集合$\mathbb{N}$は乗法について閉じている.

\[ \forall a\in \mathbb{N},\forall b\in \mathbb{N} \Longrightarrow ab\in \mathbb{N} \]

\( \forall a\in \mathbb{N} \)は, 「自然数 \( \mathbb{N} \)から任意の数\( a \)を取り出す」という意味である．\( \forall \)の記号はAnyの頭文字を図案化したもので, 「\( \mathbb{N} \)からどんな数\( a \)を取り出しても」と平易な言葉で表現することも出来る．
また, 「閉じている」という表現は「集合」で用いられる用語で, 集合 \( \mathbb{S} \) （例えば, \( \mathbb{N} \) ）が, ある演算（例えば, 加法）について「閉じている」とは, \( \mathbb{S} \) の要素をどのように好き勝手に取ってきても, その演算を施すと, 値は \( \mathbb{S} \) の要素になるという意味である．